• Aktienderivative

    Geschlossene Approximationsformeln für den Preis einer Wandelanleihe

    Der vorliegende Artikel versucht sich an geschlossenen Approximationsformeln für den Preis einer Wandelanleihe in sogenannten 1.5-Faktor-Modellen. Da dieses Bewertungsproblem im Allgemeinen immer auf zeitaufwendige numerische Verfahren, wie zum Beispiel finite Differenzen, zurückgreifen muss, können schnellere Approximationsformeln bei der Kalibrierung von Modellparametern hilfreich sein. Deren Herleitung basiert auf der Idee die zugrunde liegende amerikanische Umwandlungsoption als eine europäische aufzufassen. Folglich steht und fällt die Güte der Approximationsformeln mit dem vorhandenen Anreiz einer frühen Optionsausübung, und die resultierenden Formeln sind im Allgemeinen als untere Schranken anzusehen.  

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  • Aktienderivative

    Kann man den Aktien-Forward aus amerikanischen Optionspreisen ableiten?

    Der Aktien-Forward mit einer bestimmten Laufzeit ist definiert als risikoneutrale Erwartung des Aktienpreises bei Laufzeitende. Falls Preise für europäische Put- und Call-Optionen mit der gegebenen Laufzeit und unterschiedlichen Ausübungspreisen beobachtet werden, so kann man den Aktien-Forward aus der Put-Call-Parität ableiten. Insbesondere ist dieser unabhängig von der Wahl des risikoneutralen Maßes, also eine modellfreie Größe. Genauer gesagt ist der Aktien-Forward die eindeutige Nullstelle der Differenz aus Calls und Puts, als Funktion im Ausübungspreis betrachtet. Im Gegensatz dazu ist die Situation schwieriger, wenn nur amerikanische Optionspreise beobachtet werden. Insbesondere ist die oben genannte Nullstelle im Allgemeinen nicht der Aktien-Forward. Der vorliegende Artikel beschäftigt sich mit der Fragestellung, ob der Aktien-Forward auch aus amerikanischen Optionspreisen eindeutig und modellfrei abgeleitet werden kann. Unglücklicherweise stellt sich diese scheinbar einfache „Ja oder Nein“-Frage als nicht-trivial und unbeantwortet heraus, und wir sind nicht in der Lage sie zu beantworten.

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    Über Modellierungsunsicherheit in Credit-Equity-Modellen

    Credit-Equity Modelle werden häufig genutzt, um Preise von Aktienderivaten mit Preisen von Kreditderivaten auf dieselbe zugrunde liegende Firma zu vergleichen. Dabei gibt es ein erhebliches Maß an Modellierungsfreiheit, um nicht zu sagen Modellierungsunsicherheit. Das Erstellen einer Liste von vernünftigen Modellaxiomen, welche diese Unsicherheit mindern, stellt sich in der Praxis als Herkulesaufgabe heraus. Der vorliegende Artikel stellt dieses Modellierungsproblem vor und versucht den Lesern ein Gefühl für die praktische Auswirkung gängiger Axiome zu vermitteln.

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  • Aktienderivative

    Vergleich zwischen Forward- und Spot-Modellierung

    Preisformeln für Aktienderivate können entweder von einem stochastischen Modell für den Aktienkurs (Spot) selbst abgeleitet werden, oder können auf einem stochastischen Modell für den zugehörigen Aktien-Forward Prozess basiert sein. Der prominenteste Vertreter des Spot-Ansatzes ist das Black-Scholes Modell aus dem Jahr 1973, und das Black-Modell aus dem Jahr 1976 ist der prominenteste Vertreter des Forward-Ansatzes, welcher es erlaubt die Dividenden- und Zins-Modellierung für die Aktie zu vereinfachen. Das Black-Scholes Spot-Modell resultiert in demselben Aktienmodell wie das Black-Forward Modell, aber diese Äquivalenz verschwindet, wenn man das Modell um zustandsabhängige Volatilität oder Ausfallwahrscheinlichkeit erweitert. Die Vor- und Nachteile von Spot- und Forward-Modellierung werden vorgestellt und diskutiert.

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  • Aktienderivative

    Effiziente Simulation einer risikoneutralen Verteilung

    Die Buchen-Kelly Dichte maximiert Entropie unter allen risikoneutralen Dichten, welche gegebene Optionspreise für eine fixe Laufzeit erklären. Da sie stückweise exponentiell ist, kennt man die Inverse der zugehörigen Verteilungsfunktion in geschlossener Form. Dies ermöglicht wahnsinnig effiziente Monte Carlo Simulationen von der Buchen-Kelly Dichte mittels der klassischen Inversionsmethode. Unglücklicherweise hängt die Buchen-Kelly Dichte allerdings empfindlich von den verwendeten Marktpreisen ab und hat häufig eine ungewünschte, multimodale Gestalt. Wir zeigen auf, wie die wohlüberlegte Wahl verwendeter Marktpreise dieses Problem beheben und eine glatte Buchen-Kelly Dichte generieren kann.

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